CHÉO HÓA MA TRẬN LÀ GÌ

P
displaystyle P

D
displaystyle D

P
−1
AP=D
displaystyle P^-1AP=D

A=PD
P
−1
displaystyle A=PDP^-1

P,D
displaystyle P,D

V
displaystyle V

T:V→V
displaystyle T:V o V

V
displaystyle V
gồm các vectơ riêng rẽ của
T
displaystyle T

T
displaystyle T
có biểu diễn ma trận
A=PD
P
−1
displaystyle A=PDP^-1
như trên thì các vectơ cột của
P
displaystyle P
tạo thành một cơ sở cho tất cả vectơ riêng của
T
displaystyle T
, cùng các phần tử trên đường chéo cánh của ma trận
D
displaystyle D
là những giá trị riêng khớp ứng của
T
displaystyle T
; hay đối với cơ sở vectơ riêng rẽ này, ma trận
A
displaystyle A
được biểu diễn bởi
D
displaystyle D
.
Bạn đang xem: Chéo hóa ma trận là gì
Nói một cách hình học, một ma trận chéo hóa được là 1 phép giãn ko đồng nhất (hay phép co giãn dị hướng) bởi vì nó co và giãn từng vectơ trong ko gian giống hệt như phép giãn đồng điệu nhưng với thông số khác theo từng trục vectơ riêng, hệ số này được cho vị giá trị riêng rẽ tương ứng.
Chéo hóa là quy trình tìm những ma trận
P
displaystyle P
và
D
displaystyle D
trên. Những ma trận và thay đổi chéo hóa được rất dễ tính toán, sau khi đã kiếm được các quý giá riêng và vectơ riêng của chúng. Ta có thể đưa một ma trận chéo
D
displaystyle D
nâng lên lũy quá bậc bất kỳ bằng cách lấy lũy quá bậc kia trên từng bộ phận trên đường chéo, cùng định thức của một ma trận chéo cánh đơn giản là bởi tích của các thành phần trên con đường chéo, những tính toán như vậy cũng dễ dãi được tiến hành tổng quát lác với
A=PD
P
−1
displaystyle A=PDP^-1
.
Một ma trận vuông mà không chéo hóa được thì được call là khiếm khuyết. Rất có thể xảy ra trường đúng theo một ma trận
A
displaystyle A
có các bộ phận số thực khiếm khuyết trên trường số thực, nghĩa là không thể gồm ma trận
P
displaystyle P
khả nghịch và
D
displaystyle D
chéo với các bộ phận số thực sao cho
A=PD
P
−1
displaystyle A=PDP^-1
, cơ mà lại có thể có với các phần tử số phức, sao cho
A
displaystyle A
là chéo cánh hóa được bên trên trường số phức. Chẳng hạn, đấy là trường đúng theo của ma trận phép xoay thông thường.
Xem thêm: Mẹo Làm Sạch Túi Da Bằng Kem Đánh Răng #Bepcuatu, Hướng Dẫn Làm Sạch Túi Da Bằng Kem Đánh Răng
Bạn đã đọc: Ma trận chéo cánh hóa được – Wikipedia tiếng Việt
Một ma trận vuông
A
displaystyle A
cỡ
n×n
displaystyle n imes n

F
displaystyle F

P
displaystyle P
sao cho
P
−1
AP
displaystyle P^-1AP

A∈F n×n chéo hóa được ⟺ ∃ P, P −1 ∈ F n×n : P −1 AP là mặt đường chéo displaystyle Ain F^n imes n ext chéo hóa đượciff exists ,P,P^-1in F^n imes n:;P^-1!AP ext là đường chéo ![]() |


có phần đông giá trị riêng rẽ 1, 2, 2 ( không riêng biệt hết ) và là ma trận chéo hóa được cùng với dạng đường chéo ( đồng dạng với A displaystyle A )
< 1 0 0 0 2 0 0 0 2 > displaystyle begin bmatrix 1 cùng 0 và 0 0 cùng 2 và 0 0 với 0 cùng 2 end bmatrix
và ma trận đưa cơ sở p displaystyle p
< 1 1 − 1 1 1 0 1 0 3 >. displaystyle begin bmatrix 1 và 1 cùng – 1 1 và 1 với 0 1 với 0 với 3 end bmatrix .
Mệnh đề đảo không đúng lúc A displaystyle A A displaystyle A Một biến đổi tuyến tính T : V → V displaystyle T : V khổng lồ V n = dim ( V ) displaystyle n = operatorname dim ( V )



thì :
A p = p. ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ). displaystyle AP = p begin pmatrix lambda _ 1 và 0 với dots cùng 0 0 và lambda _ 2 và dots và 0 vdots với vdots cùng ddots và vdots 0 cùng 0 cùng dots và lambda _ n kết thúc pmatrix .
Viết
P
displaystyle P
dưới dạng ma trận khối gồm các vectơ cột của nó
α→
i
displaystyle vec alpha _i


phương trình trên trả toàn rất có thể được viết lại bên dưới dạng
A α → i = λ i α → i ( i = 1, 2, ⋯, n ). displaystyle A vec alpha _ i = lambda _ i vec alpha _ i qquad ( i = 1,2, cdots, n ).
Vì vậy những vectơ cột của
P
displaystyle P
là những vectơ riêng bên đề nghị của
A
displaystyle A
(còn những vectơ hàng của
P
−1
displaystyle P^-1

P
displaystyle P
cũng rất có thể thấy rằng những vectơ riêng là độc lập tuyến tính và chế tạo ra thành một cửa hàng của
F
n
displaystyle F^n

A
displaystyle A
đối với đại lý riêng của nó.
Khi một ma trận phức
A∈
C
n×n
displaystyle Ain mathbb C ^n imes n

A
displaystyle A
có thể được chọn để tạo nên một đại lý trực chuẩn của
C
n
displaystyle mathbb C ^n

P
displaystyle P
có thể được chọn là ma trận unita. Hình như nếu
A∈
R
n×n
displaystyle Ain mathbb R ^n imes n

R
n
displaystyle mathbb R ^n

P
displaystyle P
có thể được chọn là ma trận trực giao.
Xem thêm: Wiper Là Gì Trong Tiếng Việt? Wiper Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Việt
Đối với phần đông những mục tiêu thực tiễn, số đông ma trận được chéo cánh hóa thông qua số nhờ thực hiện những áp dụng máy tính. Các thuật toán đã sinh ra để triển khai vấn đề này .