CHÉO HÓA MA TRẬN LÀ GÌ

được hotline là chéo hóa được giỏi không khiếm khuyết nếu như nó đồng dạng với 1 ma trận con đường chéo, có nghĩa là tồn tại một ma trận khả nghịch

P

displaystyle P

cùng một ma trận đường chéo

D

displaystyle D

sao cho

P

−1

AP=D

displaystyle P^-1AP=D

, hay tương đương là

A=PD

P

−1

displaystyle A=PDP^-1

. (Các

P,D

displaystyle P,D

như vậy không hẳn duy nhất.) mang đến một không gian vectơ hữu hạn chiều

V

displaystyle V

, biến đổi tuyến tính

T:V→V

displaystyle T:V o V

được hotline là chéo cánh hóa được nếu tồn trên một cơ sở bao gồm thứ trường đoản cú của

V

displaystyle V

gồm các vectơ riêng rẽ của

T

displaystyle T

. Những định nghĩa bên trên là tương đương: nếu

T

displaystyle T

có biểu diễn ma trận

A=PD

P

−1

displaystyle A=PDP^-1

như trên thì các vectơ cột của

P

displaystyle P

tạo thành một cơ sở cho tất cả vectơ riêng của

T

displaystyle T

, cùng các phần tử trên đường chéo cánh của ma trận

D

displaystyle D

là những giá trị riêng khớp ứng của

T

displaystyle T

; hay đối với cơ sở vectơ riêng rẽ này, ma trận

A

displaystyle A

được biểu diễn bởi

D

displaystyle D

.

Bạn đang xem: Chéo hóa ma trận là gì

Nói một cách hình học, một ma trận chéo hóa được là 1 phép giãn ko đồng nhất (hay phép co giãn dị hướng) bởi vì nó co và giãn từng vectơ trong ko gian giống hệt như phép giãn đồng điệu nhưng với thông số khác theo từng trục vectơ riêng, hệ số này được cho vị giá trị riêng rẽ tương ứng.

Chéo hóa là quy trình tìm những ma trận

P

displaystyle P

và

D

displaystyle D

trên. Những ma trận và thay đổi chéo hóa được rất dễ tính toán, sau khi đã kiếm được các quý giá riêng và vectơ riêng của chúng. Ta có thể đưa một ma trận chéo

D

displaystyle D

nâng lên lũy quá bậc bất kỳ bằng cách lấy lũy quá bậc kia trên từng bộ phận trên đường chéo, cùng định thức của một ma trận chéo cánh đơn giản là bởi tích của các thành phần trên con đường chéo, những tính toán như vậy cũng dễ dãi được tiến hành tổng quát lác với

A=PD

P

−1

displaystyle A=PDP^-1

.

Một ma trận vuông mà không chéo hóa được thì được call là khiếm khuyết. Rất có thể xảy ra trường đúng theo một ma trận

A

displaystyle A

có các bộ phận số thực khiếm khuyết trên trường số thực, nghĩa là không thể gồm ma trận

P

displaystyle P

khả nghịch và

D

displaystyle D

chéo với các bộ phận số thực sao cho

A=PD

P

−1

displaystyle A=PDP^-1

, cơ mà lại có thể có với các phần tử số phức, sao cho

A

displaystyle A

là chéo cánh hóa được bên trên trường số phức. Chẳng hạn, đấy là trường đúng theo của ma trận phép xoay thông thường.

Xem thêm: Mẹo Làm Sạch Túi Da Bằng Kem Đánh Răng #Bepcuatu, Hướng Dẫn Làm Sạch Túi Da Bằng Kem Đánh Răng

Bạn đã đọc: Ma trận chéo cánh hóa được – Wikipedia tiếng Việt

Một ma trận vuông

A

displaystyle A

cỡ

n×n

displaystyle n imes n

bên trên một trường

F

displaystyle F

được điện thoại tư vấn là chéo hóa được tuyệt không khiếm khuyết nếu như tồn trên một ma trận khả nghịch

P

displaystyle P

sao cho

P

−1

AP

displaystyle P^-1AP

là 1 trong những ma trận đường chéo. Một cách thiết yếu tắc,

A∈F n×n chéo hóa được ⟺ ∃ P, P −1 ∈ F n×n : P −1 AP là mặt đường chéo displaystyle Ain F^n imes n ext chéo hóa đượciff exists ,P,P^-1in F^n imes n:;P^-1!AP ext là đường chéo

Một công dụng cơ phiên bản về số đông ma trận và đổi khác chéo hóa được được trình diễn tiếp sau đây :Một đặc tính nâng cao khác : Một ma trận hay đổi khác tuyến tính chéo hóa được bên trên trường F displaystyle F khi và chỉ còn khi đa thức tối tiểu của nó là một trong những tích của các nhân tử con đường tính minh bạch trên F displaystyle F . ( Nói cách khác, một ma trận là chéo hóa được khi còn chỉ khi tổng thể những mong nguyên sơ của chính nó là tuyến tính. )Điều kiện đủ ( cơ mà chưa nên ) dưới đây rất hữu ích .

Một ma trận A displaystyle A n × n displaystyle n times n F displaystyle F n displaystyle n

F displaystyle F đa thức đặc trưng của nó bao gồm n displaystyle n F displaystyle F < − 1 3 − 1 − 3 5 − 1 − 3 3 1 >, displaystyle begin bmatrix – 1 với 3 và – 1 – 3 cùng 5 cùng – 1 – 3 với 3 cùng 1 kết thúc bmatrix ,

có phần đông giá trị riêng rẽ 1, 2, 2 ( không riêng biệt hết ) và là ma trận chéo hóa được cùng với dạng đường chéo ( đồng dạng với A displaystyle A )

< 1 0 0 0 2 0 0 0 2 > displaystyle begin bmatrix 1 cùng 0 và 0 0 cùng 2 và 0 0 với 0 cùng 2 end bmatrix

và ma trận đưa cơ sở p displaystyle p

< 1 1 − 1 1 1 0 1 0 3 >. displaystyle begin bmatrix 1 và 1 cùng – 1 1 và 1 với 0 1 với 0 với 3 end bmatrix .

Mệnh đề đảo không đúng lúc A displaystyle A A displaystyle A Một biến đổi tuyến tính T : V → V displaystyle T : V khổng lồ V n = dim ⁡ ( V ) displaystyle n = operatorname dim ( V )

n displaystyle n n displaystyle n F displaystyle F Cho A displaystyle A là 1 ma trận bên trên F displaystyle F . Ví như A displaystyle A chéo hóa được thì những lũy quá bậc bất cứ của nó cũng thế .Nhiều công dụng cho hầu như ma trận chéo cánh hóa được chỉ đúng bên trên một trường đại số đóng góp ( ví dụ như trường số phức ). Vào trường vừa lòng này, tập đông đảo ma trận chéo cánh hóa được là trù mật trong khoảng trống phần đông ma trận, nghĩa là mỗi ma trận khiếm khuyết trọn vẹn có thể biến thành ma trận chéo cánh hóa được vị một nhiễu loạn nhỏ tuổi ; và định lý dạng chuẩn tắc Jordan tuyên bố rằng từng ma trận là tổng độc nhất của một ma trận chéo hóa được với một ma trận lũy linh. Bên trên một ngôi trường đại số đóng, đầy đủ ma trận chéo hóa được giống như với rất nhiều ma trận nửa đơn. < 1 >

chéo hóa một ma trận trả toàn hoàn toàn có thể được hiểu là câu hỏi quay hồ hết trục tọa độ khiến cho chúng thẳng mặt hàng với hầu như vectơ riêng biệt .Nếu một ma trận A displaystyle A chéo hóa được, tức là

P. − 1 A p. = ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ), displaystyle phường ^ – 1 AP = begin pmatrix lambda _ 1 với 0 với dots cùng 0 0 với lambda _ 2 cùng dots với 0 vdots và vdots với ddots cùng vdots 0 cùng 0 và dots cùng lambda _ n over pmatrix ,

thì :

A p = p. ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ). displaystyle AP = p begin pmatrix lambda _ 1 và 0 với dots cùng 0 0 và lambda _ 2 và dots và 0 vdots với vdots cùng ddots và vdots 0 cùng 0 cùng dots và lambda _ n kết thúc pmatrix .

Viết

P

displaystyle P

dưới dạng ma trận khối gồm các vectơ cột của nó

α→

i

displaystyle vec alpha _i

P. = ( α → 1 α → 2 ⋯ α → n ), displaystyle phường = begin pmatrix vec alpha _ 1 với vec alpha _ 2 cùng cdots và vec alpha _ n kết thúc pmatrix ,

phương trình trên trả toàn rất có thể được viết lại bên dưới dạng

A α → i = λ i α → i ( i = 1, 2, ⋯, n ). displaystyle A vec alpha _ i = lambda _ i vec alpha _ i qquad ( i = 1,2, cdots, n ).

Vì vậy những vectơ cột của

P

displaystyle P

là những vectơ riêng bên đề nghị của

A

displaystyle A

(còn những vectơ hàng của

P

−1

displaystyle P^-1

là các vectơ riêng bên trái), và những giá trị trên đường chéo tương ứng với các giá trị riêng biệt của chúng. Từ bỏ sự khả nghịch của

P

displaystyle P

cũng rất có thể thấy rằng những vectơ riêng là độc lập tuyến tính và chế tạo ra thành một cửa hàng của

F

n

displaystyle F^n

. Đây là điều kiện cần với đủ cho sự chéo hóa được với là giải pháp tiếp cận bao gồm tắc của việc chéo cánh hóa: tức là ta biểu diễn

A

displaystyle A

đối với đại lý riêng của nó.

Khi một ma trận phức

A∈

C

n×n

displaystyle Ain mathbb C ^n imes n

là ma trận Hermite (hay tổng quát hơn, là ma trận chuẩn chỉnh tắc), các vectơ riêng của

A

displaystyle A

có thể được chọn để tạo nên một đại lý trực chuẩn của

C

n

displaystyle mathbb C ^n

, lúc đó

P

displaystyle P

có thể được chọn là ma trận unita. Hình như nếu

A∈

R

n×n

displaystyle Ain mathbb R ^n imes n

là 1 trong những ma trận đối xứng thực thì những vectơ riêng rẽ của nó có thể được chọn là 1 trong những cơ sở trực chuẩn chỉnh của

R

n

displaystyle mathbb R ^n

và

P

displaystyle P

có thể được chọn là ma trận trực giao.

Xem thêm: Wiper Là Gì Trong Tiếng Việt? Wiper Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Việt

Đối với phần đông những mục tiêu thực tiễn, số đông ma trận được chéo cánh hóa thông qua số nhờ thực hiện những áp dụng máy tính. Các thuật toán đã sinh ra để triển khai vấn đề này .