Ma trận đơn vị là gì

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. định nghĩa ma trận nghịch đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được điện thoại tư vấn là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cung cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên bao gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị chức năng cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thật vậy, mang sử tất cả hai ma trận đơn vị I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị chức năng nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là 1 trong ma trận vuông cấp n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, giả dụ tồn trên một ma trận B vuông cấp cho n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.Bạn vẫn xem: Ma trận đơn vị chức năng là gì

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 dìm xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, do giả sử trường tồn ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức thị A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay tại, có rất nhiều giáo trình quốc tế đã đề cập mang lại khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Ma trận đơn vị là gì

Thật vậy, mang lại A là ma trận cung cấp m x n trên trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái trường hợp tồn tại ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải ví như tồn trên ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Cùng khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch giả dụ A khả nghịch trái với khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cung cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 những ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với tất cả ma trận vuông cấp 2 ta những có:


*

2. Tính chất:

1. Trường hợp A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Giả dụ A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ minh chứng kết quả trên nhé)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2) được điện thoại tư vấn là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) nếu E chiếm được từ ma trận đơn vị In bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cấp loại hay cột gọi bình thường là ma trận sơ cấp.

Xem thêm: Lợi Ích Của Bình Đệm Trữ Nhiệt Có Áp Suất Storage/ Buffer Tank Là Gì

3.2 Tính chất: phần nhiều ma trận sơ cấp dòng (hay cột) phần lớn khả nghịch và nghịch đảo của nó lại là một ma trận sơ cung cấp dòng.

Ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 cái của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp dạng 2


Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi một vài hữu hạn các phép biến hóa sơ cấp dòng (cột)

3. A là tích của một trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn đọc rất có thể xem chứng minh định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi còn chỉ khi dạng chính tắc của A là In

2. Nếu như A khả nghịch thì In nhận thấy từ A bởi một trong những hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp mẫu (cột); đồng thời, chủ yếu dãy những phép thay đổi sơ cấp mẫu (cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan kiếm tìm ma trận nghịch hòn đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Ta thực hiện thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được chế tạo dựa vào công dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên đề xuất ma trận A


Lập ma trận chi khối cấp cho n x 2n

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp cho dòng để đưa về dạng , trong số ấy A’ là 1 ma trận bậc thang chính tắc.

Xem thêm: Giao Thông Thông Minh Lop 6, 17, 18 Công Nghệ 6 Cánh Diều, Công Nghệ 6 Bài 3: Ngôi Nhà Thông Minh

– ví như A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– trường hợp A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong vượt trình chuyển đổi nếu A’ xuất hiện ít tốt nhất 1 mẫu không thì lập tức tóm lại A ko khả nghịch (không cần được đưa A’ về dạng bao gồm tắc) và xong xuôi thuật toán.

Ví dụ minh họa: sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của: